Трисекция угла - элегантно и просто (no replies)
Михайлов Сергей Леонидович
Cmzar3008@Mail.ru
1. Сделанное ранее автором сообщение [1] доказывает разрешимость трисекции угла, так как в едином построении, выполняемом циркулем и линейкой без делений, получен угол, втрое больший исходного. Значит открывается возможность получать другим обратным построением трисекцию произвольного острого угла. Частные построения - [2].
2. В подтверждение разрешимости трисекции [1] приведем второй интересный пример этого. Если взять любой равнобедренный треугольник ΔABC с углами при его основании AC меньше 60̊ - Рис.1. - и построить такой же угол от правого, к примеру угла ^ACB=α, - угол ^BCD=α, то его внешний луч CD пересечёт луч продолжение AE от другого угла при основании в некоторой новой точке D.
Рис.1.
Геометрическое построение, содержащее в себе углы в отношении 1:3.
Углы ^ACB=α=^CAB при основании AC равнобедренного треугольника ΔABC. Добавляя справа угол ^BCD=α, получаем новый треугольник ΔACD с внешним углом ^CDE=3α=^CAD+^ACD=α+2α очевидно.(https://iimg.su/i/tyQKCB).
3. Этим создан новый треугольник ΔACD с внешним углом ^CDE=3α. Тогда мы имеем уже как минимум два построения, содержащие в себе углы в соотношении 1:3, что автоматически переводит «неразрешимую задачу трисекции угла» в нерешённую, при всем уважении к «доказательству Ванцеля», алгебраически бесспорному в частности!
4. Далее используется объект, называемый для краткости «r- полоса», определяемый как часть плоскости вместе с двумя параллельными прямыми на расстоянии r между ними.
5.Пусть нам дан произвольный угол ^ABC=β (Рис.2) и используя небольшой произвольный отрезок r построим две r- полосы от луча AB как исходной прямой. Называем луч AB «исходной» прямой, а созданную построением – «граничной». Кванторы (r₁) и (r₂). Граничная прямая (r₂) тогда пересечёт продолжение луча BC – прямая CQ– в некоторой точке O, а (r₁) создаёт Q.
6. Отложим отрезок длиной 2r из O по прямой (r₂) – точка D и построим отрезок BD и из вершины B отложим его до (r₁) и так получим точку F там. Этим создан также угол ^FBC с биссектрисой BE, где E находится на (r₂) и становится новым радиусом.
Рис.2.
Трисекция «совершенно неделимого натрое» угла ^ABC=β=60̊.
Угол ^MBC=39.75̊. (Система Inkscape здесь). Рисунок выполнен в ручном режиме и не предназначен для измерений по нему здесь и является демонстрационным. (https://iimg.su/i/xUpDhz).
7. Проводя им дугу от прямой (r₁) (точка L там) до луча BC, фиксируя точку C этим, и сравним хорду EC c 2r: если EC=2r, ^EBC=2β/3, что нам и требуется для трисекции β- угла так как тогда равнобедренные треугольники равны: ΔLBE=ΔCBE по трём равным сторонам и потому ^LBE=^CBE.
8. Но они пока не равны и потому проводим деление угла ^LBC пополам биссектрисой BM и ранее проведённое построение. Оно показывает равенство равнобедренных треугольников теперь, что нам и нужно для трисекции.
9. Фактически в предлагаемом алгоритме мы всегда приходим к равенству двух равнобедренных треугольников типа ΔLBE=ΔCBE, каким бы ни были вначале отрезки OD, BD=BF и угол ^FBC. Биссектриса BE при излишне большом ^FBC, близком к 180̊, пройдёт ближе к вертикали, что увеличит отрезок BE, и потому угол ^LBC очевидно уменьшится, и обратно – если угол ^FBC меньше, чем нужно, то происходит увеличение угла ^LBC соответственно за счёт «работы» биссектрисы BE. Алгоритм по факту является саморегулирующимся к искомому результату этим построением.
10. Тестирование проводилось автором на большой группе углов в диапазоне 48̊ - 84̊ и показало отличные результаты. В большинстве построений достаточно 1-2 повторений предлагаемого алгоритма для отличного результата. При аккуратном и точном обращении с циркулем и линейкой без делений и проведении всех линий толщиной не свыше «толщины волоса» для рисунков площадью в 1/2 от А4 формата, абсолютная погрешность не превышает 0-0.2̊ и при трёхкратном повторении рисунка носит случайный характер. Это говорит о неминуемых, но небольших неустранимых погрешностях связанных с исполнением тестов вручную и не более.
20. По сути мы выходим так на дилемму по вопросу точности построений, достаточных для решения такого типа задач простыми инструментами и точности/погрешности их позиционирования на каждом шаге таких алгоритмов. Абсолютная погрешность накапливается при каждом следующем шаге и это неминуемо, в чём и общая проблема тогда.
21. Работа выполнялась автором исключительно по собственной инициативе, и обсуждений, консультаций или подсказок ни с кем вообще не проводилось.
22. Авторское право было закреплено мною за собою заранее.
Источники информации.
1.Сообщение автора на MathForum от 27.04.2024.
2.Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике (любое издание).