То ли 2, то ли 3
Для каких натуральных $n \ge 2$ можно записать числа 1, 2, 3, ..., $n$ в ряд в некотором порядке так, чтобы любые два последовательных числа отличались на 2 или на 3? |
Для каких натуральных $n \ge 2$ можно записать числа 1, 2, 3, ..., $n$ в ряд в некотором порядке так, чтобы любые два последовательных числа отличались на 2 или на 3? |
В Австралии проводится много математических соревнований. Ниже краткое описание двух из них. Australian mathematics competition (AMC). Соревнование проводится для школьников 3-12 классов. Школьникам предлагается решить 30 задач. Соревнование проводится онлайн учителями в школах. The Australian Mathematical Olympiad (AMO). Это двухдневное соревнование, в каждый из двух дней школьникам предлагают решить 4 задачи. В соревновании принимают участие около 200 школьников из Австралии и Новой Зеландии. Читать дальше... |
Найдите все действительные значения $(x, y, z)$ такие, что \[ \begin{array}{rcl} x + y + z&=&1\\ x^2y + y^2z + z^2x&=&xy^2 + yz^2 + zx^2\\ x^3 + y^2 + z&=&y^3 + z^2 + x \end{array} \]
Дан треугольник ABC, в котором AB < AC и точка I является центром вписанной окружности. Вписанная окружность касается стороны BC в точке D. Пусть E - точка такая, что D является серединой отрезка BE. Прямая, перпендикулярная BC и проходящая через E, пересекает CI в точке P. Докажите, что прямая BP перпендикулярна AD.
Пусть n - натуральное число. В квадратной сетке n х n в некоторых ячейках вдоль одной из диагоналей установлено двустороннее зеркало. Вне сетки с левой и с правой стороны от каждой строки установлены лазерные указки, направленные горизонтально к сетке. Указки пронумерованы числами от 1 до n с каждой стороны, в обоих случаях сверху вниз. Луч каждого красного лазера покидает сетку у верхнего края, луч каждого зеленого лазера покидает сетку у нижнего края. Пусть установлены только красные и зеленые лазеры. Читать дальше...
Определите, для каких значений n существует выпуклый n-угольник, величины внутренних углов которого, выраженные в градусах, являются целыми числами, образующими непостоянную арифметическую прогрессию.
Пусть $a_1,a_2,a_3,\cdots$ --- неубывающая последовательность положительных целых чисел. Для каждого $m \ge 1$ определим $b_m=\min\{n: a_n \ge m\}$, то есть $b_m$ равно минимальному значению $n$ такому, что $a_n\ge m$. Известно, что $a_{19}=85.$ Найдите наибольшее значение суммы $a_1+a_2+\cdots+a_{19}+b_1+b_2+\cdots+b_{85}.$ |
22.03.2021 в 10:06
Пишет Diary Spirit:
Дан треугольник ABC, I - центр его вписанной окружности w. Пусть M - середина стороны BC. Прямая, проходящая через точку A перпендикулярно прямой BC, и прямая, проходящая через точку M перпендикулярно прямой AI, пересекаются в точке K.
Покажите, что окружность, построенная на отрезке AK как на диаметре, касается w.
Как показать, что если линейное пространство V содержит конечное число векторов. большее одного, то его основное поле конечно?